Question

已知关于x的一元二次方程x²-kx-1=0有两个实数根x₁，x₂，是否存在实数k，使得x₁x₂-x₁-x₂=0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：存在型

分析：根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，再利用x₁x₂-x₁-x₂=0可得-1-k=0，解得k=-1，然后根据判别式的意义判断k的值是否满足条件．

解答：解：存在．
根据题意得x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∵x₁x₂-x₁-x₂=0，即x₁x₂-（x₁+x₂）=0，
∴-1-k=0，
∴k=-1，
∵k=-1时，△=（-k）²-4×（-1）＞0，
∴存在实数k=-1，使得x₁x₂-x₁-x₂=0．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．