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    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．

    （1）求证：∠CBP=∠ABP；
    （2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；
    （3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．

    【答案】（1）见解析；（2）3；（3）.

    【解析】

    （1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
    （2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，然后求得AE的长即可；
    （3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，求得DN的长即可求得MC+MN的最小值；

    （1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
    ∴AP=AP′，
    ∴∠APP′=∠AP′P，
    ∵∠C=90°，AP′⊥AB，
    ∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
    又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
    ∴∠CBP=∠ABP；
    （2）如图，过点P作PD⊥AB于D，
    ∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
    ∴CP=DP，
    ∵P′E⊥AC，
    ∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
    又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
    ∴∠PAD=∠AP′E，


    在△APD和△P′AE中，
    ，
    ∴△APD≌△P′AE（AAS），
    ∴AE=DP，
    ∴AE=CP，
    ∵AB-BC=4，AC=8，
    ∴AB=10，BC=6，
    设PC=PD=x，则AD=10-6=4，PA=8-x，
    在Rt△PDA中，x2+42=（8-x）2，
    解得x=3，
    ∴AE=CP=3；
    （3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，
    ∵∠ABC=60°，BC=BD，
    ∴△BCD为等边三角形，
    又∵点N为BC的中点，
    ∴DN⊥BC，
    ∵BC=BD=2，
    ∴BN=1，
    ∴DN=，
    ∴MC+MN的最小值为．

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    （1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：

    每千克槟榔芋售价（单位：元）

    可供出售的槟榔芋重量（单位：千克）

    现在出售

    3000

    x天后出售

    （2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得最大利润？

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