【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；
（3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）
.
【解析】
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，然后求得AE的长即可；
（3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，求得DN的长即可求得MC+MN的最小值；
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
设PC=PD=x，则AD=10-6=4，PA=8-x，
在Rt△PDA中，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AE=CP=3；
（3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，
∵∠ABC=60°，BC=BD，
∴△BCD为等边三角形，
又∵点N为BC的中点，
∴DN⊥BC，
∵BC=BD=2，
∴BN=1，
∴DN=，
∴MC+MN的最小值为．
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
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【题目】在平面直角坐标系中，对于抛物线
，下列说法中错误的是（ ）
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2
C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由
的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
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【题目】如图，点
，
为定点，定直线
，
是
上一动点，点
，
分别为
，
的中点，对下列各值：
①线段
的长；②
的面积；③
的周长；④直线，
之间的距离；⑤
的大小，其中会随点的移动而变化的是（ ）
A.②③B.②⑤C.③⑤D.④⑤
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【题目】如图所示，正方形ABCD中，AB=8，BE=DF=1，M是射线AD上的动点，点A关于直线EM的对称点为A′，当△A′FC为以FC为直角边的直角三角形时，对应的MA的长为___________.
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【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90° ，AB=8，AC=10.点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动;同时点Q以每秒2个单位的速度从C向A运动.当其中一个点到达时，另一个点也随即停止运动，从出发开始___秒时，△APQ与△ABC相似.
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【题目】请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；
（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN .
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【题目】某地特产槟榔芋深受欢迎，某商场以7元/千克收购了3000千克优质槟榔芋，若现在马上出售，每千克可获得利润3元．根据市场调查发现，近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克，为了获得更大利润，商家决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天，在贮藏过程中平均每天损耗约10千克．
（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克槟榔芋售价（单位：元） | 可供出售的槟榔芋重量（单位：千克） | |
现在出售 | 3000 | |
x天后出售 |
（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得最大利润？
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【题目】如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM．
（1）求证：AO＝CM；
（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．
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