Question

将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD的延长线交直线CE于点P.

（1）如图2，BD与CE的数量关系是 , 位置关系是 ；

（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；

（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.[

 

 

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可.

（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），进而求出四边形ADPE为正方形，即可得出CP的长.

（3）由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，得出点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长，进而利用弧长公式求出即可．

试题解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下：

∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°， AD边与AB边重合， AB=2AD=4，

∴D，E分别是AB和AC的中点.

∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE.

（2）如图3所示：

∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.

∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.

∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE为正方形．∴AD=PE=2.

∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.

∴BD=CE=.

∴CP=CE-PE=.

（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，

∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=.

在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，

∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的弧长.

∴点P运动的路线长为：

考点：1.面动旋转问题；2.弧长公式；3.正方形的判定和性质；4.全等三角形的判定和性质.