Question

已知△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据∠AEC+∠ACE=90°，可得∠ABD+∠AEC=90°，即可解题；
（2）延长BD交CE于F，易证∠BAD=∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据∠ABC+∠ACB=90°，可以求得∠CBF+∠BCF=90°，即可解题．

解答：证明：（1）延长BD交CE于F，

在△EAC和△DAB中，

AE=AD ∠EAC=∠DAB=90° AC=AB

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，

∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，

AD=AE ∠BAD=∠EAC AB=AC

，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△EAC≌△DAB是解题的关键．