Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足是Q，连接AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）直接证明∠C=∠PQB=90°，而∠B=∠B，即可解决问题．
（2）设BP=λ，求出BQ、PQ、AQ的值（用λ表示），进而表示出△APQ的面积，借助二次函数的性质即可解决问题．

解答：解：（1）∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
而∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC．
（2）设△AQP面积的面积为α．
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²
=9+16=25，
∴AB=5；设BP=λ，
∵△PBQ∽△ABC，
∴

PB

AB

=

PQ

AC

=

BQ

BC

，即

λ

5

=

PQ

3

=

BQ

4

，
∴PQ=

3λ

5

，BQ=

4λ

5

，
∴AQ=5-

4λ

5

，
∴α=

1

2

AQ•PQ=

1

2

×

3λ

5

（5-

4λ

5

）
=-

6

25

λ2+

3λ

2

，
∴当λ=-

3 2

2×(- 6 25 )

=

25

8

时，α取得最大值，
αmax=

-( 3 2 )2

4×(- 6 25 )

=

75

32

．
即当BP=

25

8

时，△AQP面积最大，最大值=

75

32

．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、解答．