Question

如图是一块直角三角形板材，其中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，请问：如何从这块板材上裁剪下一块面积最大的正方形？请画出你的设计图，并求出这块正方形的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的应用

专题：

分析：首先根据勾股定理求得BC的长，然后分别求得正方形的其中两条边在直角三角形的两条直角边上的正方形的面积和以正方形的一边在直角三角形的斜边上的正方形的面积，再进一步比较它们的大小即可．

解答：解：∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
设正方形的边长为xcm，
方案①，如图1，正方形EFGH为设计正方形，
因为HG∥AB，
所以

HG

AB

=

CM

CD

，
又CD=

24

5

，CM=

24

5

-x，
则

x

10

=

24 5 -x

24 5

，
解x=

120

37

；
方案②，如图2，正方形CDEF为设计正方形，
因为DE∥BC，
所以

DE

BC

=

AD

AC

，
即

x

6

=

8-x

8

，
解得x=

24

7

，
因为

120

37

＜

24

7

，
所以根据方案②的设计可得面积最大正方形，这时边长为

24

7

．

点评：此题综合考查了勾股定理以及相似三角形的判定及性质，解题的关键能够分两种情况计算并比较，难度不大．