Question

【题目】二次函数y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴． ①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n=7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5=（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，

∴对称轴方程为x=1

（2）解：①如图，由题意知直线l的解析式为y=n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，

∴n=﹣2m+3．

②依题可知：当﹣2m+3=﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．

∴m=5

（3）解：抛物线y=（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．

依题可得 解得

∴m的取值范围是﹣2＜m≤1

【解析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3=﹣7，解之可得；（3）由开口向上及函数值都不小于1可得 ，解之即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数图象的平移的相关知识，掌握平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减，以及对抛物线与坐标轴的交点的理解，了解一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．