【题目】如图,在矩形ABCD中,P是BC上一点,E是AB上一点,PD平分∠APC,PE⊥PD,连接DE交AP于F,在以下判断中,不正确的是( )
A.当P为BC中点,△APD是等边三角形
B.当△ADE∽△BPE时,P为BC中点
C.当AE=2BE时,AP⊥DE
D.当△APD是等边三角形时,BE+CD=DE
【答案】B
【解析】解:A、∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∠A=∠B,
∵点P是BC的中点,
∴PB=PC,
在△APB和△DPC中, ,
∴△APB≌△DPC,
∴PA=PD,∠APB=∠DPC,
∵PD平分∠APC,
∴∠APD=∠CPD,
∴∠APB=∠APD=∠CPD,
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°,
∴∠APD=60°,
∵PA=PD,
∴△APD是等边三角形;
∴A正确,故A不符合题意;
C、∵PD⊥PE,
∴∠BPE+∠DPC=90°,∠APE+∠APD=90°,
∵∠APD=∠CPD,
∴∠APE=∠BPE,
∴ ,
∵AE=2BE,
∴ ,
在Rt△ABP中,sin∠BAP= ,
∴∠BAP=30°,
∴∠APB=60°,
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP,
∴AE=PE,
∵EA⊥AD,EP⊥PD,
∴∠ADE=∠PDE,
在△ADE和△PDE中, ,
∴△ADE≌△PDE,
∴∠AED=∠PED,
∵AE=PE,
∴DE⊥AP,
∴C正确,故C不符合题意;
D、∵△APD是等边三角形,
∴AP=DP,∠APD=60°,
∴∠CPD=60°,
∴∠APB=60°,
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
设BE=a,
在Rt△PBE中,BP= BE=
a,PE=2a,
∴AE=2a,
∴CD=AB=BE+AE=3a,
易证△APB≌△DPC,
∴PB=PC,
∴AD=BC=2BP=2 a,
在Rt△ADE中,根据勾股定理,得,DE= =4a,
∵BE+CD=a+3a=4a=DE,
∴D正确,故D不符合题意;
∴符合题意的只有B.
故选B.
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识,掌握定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 定理2:一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.
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【题目】下列说法中,正确的是( )
A. 平面内,没有公共点的两条线段平行
B. 平面内,没有公共点的两条射线平行
C. 没有公共点的两条直线互相平行
D. 互相平行的两条直线没有公共点
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【题目】如图:已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:DE=DF;
(2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长.
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【题目】二次函数y=(m+2)x2﹣2(m+2)x﹣m+5,其中m+2>0.
(1)求该二次函数的对称轴方程;
(2)过动点C(0,n)作直线l⊥y轴. ①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n与m的函数关系;
②若抛物线与x轴有两个交点,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.当n=7时,直线l与新的图象恰好有三个公共点,求此时m的值;
(3)若对于每一个给定的x的值,它所对应的函数值都不小于1,求m的取值范围.
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【题目】设平面内一点到等边三角形中心的距离为d,等边三角形的内切圆半径为r,外接圆半径为R.对于一个点与等边三角形,给出如下定义:满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点. 在平面直角坐标系xOy中,等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(﹣ ,﹣1),C(
,﹣1).
(1)已知点D(2,2),E( ,1),F(﹣
,﹣1).在D,E,F中,是等边△ABC的中心关联点的是;
(2)如图1,过点A作直线交x轴正半轴于M,使∠AMO=30°. ①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P(m,n),求m的取值范围;
②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b,当b满足什么条件时,直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点;(直接写出答案,不需过程)
(3)如图2,点Q为直线y=﹣1上一动点,⊙Q的半径为 .当Q从点(﹣4,﹣1)出发,以每秒1个单位的速度向右移动,运动时间为t秒.是否存在某一时刻t,使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点?如果存在,请直接写出所有符合题意的t的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】从2开始,连续的偶数相加,它们和的情况如表:
加数的个数n | S |
1 | 2=1×2 |
2 | 2+4=6=2×3 |
3 | 2+4+6=15=3×4 |
4 | 2+4+6+8=20=4×5 |
5 | 2+4+6+8+10=30=5×6 |
(1)根据表中的规律猜想:用n的式子表示S的公式为:S=2+4+6+8+…+2n=;
(2)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律:
①第n行的第一个数可用含n的式子表示为;
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【题目】如图,四边形ABCD是某新建厂区示意图,∠A=75°,∠B=45°,BC⊥CD,AB=500 米,AD=200米,现在要在厂区四周建围墙,求围墙的长度有多少米?
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【题目】把一张对边互相平行的纸条,折成如图所示,EF是折痕,若∠EFB=32°,则下列结论正确的有( )
(1)∠C′EF=32°;(2)∠AEC=148°;(3)∠BGE=64°;(4)∠BFD=116°.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AB=3 ,BC=5,求AC的长;
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.
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