Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，P是BC上一点，E是AB上一点，PD平分∠APC，PE⊥PD，连接DE交AP于F，在以下判断中，不正确的是（ ）

A.当P为BC中点，△APD是等边三角形
B.当△ADE∽△BPE时，P为BC中点
C.当AE=2BE时，AP⊥DE
D.当△APD是等边三角形时，BE+CD=DE

Answer 1

【答案】B
【解析】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B，
∵点P是BC的中点，
∴PB=PC，
在△APB和△DPC中， ，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD，∠APB=∠DPC，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=∠CPD，
∴∠APB=∠APD=∠CPD，
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°，
∴∠APD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD是等边三角形；
∴A正确，故A不符合题意；
C、∵PD⊥PE，
∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°，
∵∠APD=∠CPD，
∴∠APE=∠BPE，
∴ ，
∵AE=2BE，
∴ ，
在Rt△ABP中，sin∠BAP= ，
∴∠BAP=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP，
∴AE=PE，
∵EA⊥AD，EP⊥PD，
∴∠ADE=∠PDE，
在△ADE和△PDE中， ，
∴△ADE≌△PDE，
∴∠AED=∠PED，
∵AE=PE，
∴DE⊥AP，
∴C正确，故C不符合题意；
D、∵△APD是等边三角形，
∴AP=DP，∠APD=60°，
∴∠CPD=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
设BE=a，
在Rt△PBE中，BP= BE= a，PE=2a，
∴AE=2a，
∴CD=AB=BE+AE=3a，
易证△APB≌△DPC，
∴PB=PC，
∴AD=BC=2BP=2 a，
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得，DE= =4a，
∵BE+CD=a+3a=4a=DE，
∴D正确，故D不符合题意；
∴符合题意的只有B．
故选B．
【考点精析】解答此题的关键在于理解角平分线的性质定理的相关知识，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．