Question

14．阅读下文，寻找规律：
已知x≠1时，（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=-63．
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=2²⁰⁰⁸-1．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律化简两式即可；
（3）利用得出的规律化简两式即可．

解答 解：（1）（1-x）（1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷）=1-x⁸；
（2）观察上式，并猜想：①（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
②（x-1）（x¹⁰+x⁹+…+x+1）=x¹¹-1；
（3）根据你的猜想，计算：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=-63；
②1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷=-（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁷）=2²⁰⁰⁸-1．
故答案为：（1）1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷；（2）①1-xⁿ⁺¹；②x¹¹-1；（3）①-63；②2²⁰⁰⁸-1．

点评 此题考查了平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．