Question

【题目】在正方形ABCD中，点P是直线BC上的一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．

（1）如图1，点P在线段CB的延长线上．

①请根据题意补全图形；

②用等式表示BP和CE的数量关系，并证明．

（2）若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②CE＝BP，证明详见解析；（2）CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）　．

【解析】

（1）①据题意补全图形即可；

②作EM⊥BC于M，证明△ABP≌△PME（AAS），得出AB＝PM，BP＝ME，证明△CEM是等腰直角三角形，得出CE＝ME，即可得出结论；

（2）①当点P在线段BC上时，在BA上截取BM＝BP．则△PBM是等腰直角三角形，证明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出结论；

②当点P在线段BC的延长线上时，在BA上截取BM＝BP．则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．证明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出结论．

解：（1）①据题意补全图形，如图1所示：

②CE＝BP，理由如下：

作EM⊥BC于M，如图2所示：

由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，

即∠APB+∠EPM＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABP＝90°，

∴∠APB+∠PAB＝90°，

∴∠PAB＝∠EPM，

在△ABP和△PME中， ，

∴△ABP≌△PME（AAS），

∴AB＝PM，BP＝ME，

∴PM＝BC，

∴BP＝CM＝ME，

∴△CEM是等腰直角三角形，

∴CE＝ME，

∴CE＝BP；

（2）分两种情况：

①当点P在线段BC上时，CE＝（CD﹣CP），理由如下：

在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图3所示：

则△PBM是等腰直角三角形，

∴PM＝BP，∠BMP＝∠BPM＝45°，

∵AB＝BC，

∴AM＝PC，

由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，

∴∠APM+∠CPE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，

∴∠MAP＝∠CPE，

在△PCE和△AMP中，，

∴△PCE≌△AMP（SAS），

∴CE＝PM，

∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝BP，

∴CE＝PM＝BP＝（CD﹣CP）；

②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），理由如下：

在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图4所示：

则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，AD∥BC，

∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，

由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，

∴∠PAM＝∠EPC，

在△PCE和△AMP中，，

∴△PCE≌△AMP（SAS），

∴CE＝PM，

∵CD+CP＝BC+CP＝BP，

∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；

故答案为：CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）．