Question

【题目】阅读下面材

有依次排列的个数：对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串： 这称为第一次操作；第二次同样的操作后也可产生一个新数串：继续依次操作下去．问

有依次排开的个数： ，第一次操作后，增加的所有新数之和是多少?

在的前提下，经过第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?

猜想：有依次排开的个数，第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4；（3）.

【解析】

（1）仿造题意所给的第一次操作的模式将此时的三个数加以操作即可；

（2）根据（1）可知第一次操作后的新数串为：，据此进一步进行第二次操作即可得出第二次操作后的新数串，然后进一步计算即可；

（3）首先求出该组数第一次操作后所得的新数串的增加的新数之和，然后根据（1）、（2）中的结果发现其前后第一、第二相邻两次的操作后所得的新数串的增加的新数之和并没有发生变化，据此进一步猜想即可.

（1）由题意得可得：

将第一次操作后所得的新数串为：，

其中增加的新数为：，

∴，

即第一次操作后，增加的所有新数之和是4；

（2）由（1）可得第一次操作后的新数串为：，

∴第二次操作后的新数串为：，

其中增加的新数为：，

∴，

即第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为4；

（3）由题意得：第一次操作后可得新数串为：，

此时新增加的数为：，

∴，

即第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为，

根据（1）、（2）的答案可以发现，其前后第一、第二次的操作后所得的新数串的增加的新数之和并没有发生变化，

∴ 猜想凡是前后两次相邻操作后所得的新数串的增加的新数之和不会发生变化，

∴第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为：.