[题目]如图1.在平面直角坐标系中.点A坐标为(4.4).点B的坐标为(2.0)．(1)求线段AB的长,(2)点M是坐标轴上的一个点.若以AB为直角边构造直角三角形△ABM.请求出满足条件的所有点M的坐标,(3)如图2.以点A为直角顶点作∠CAD=90°.射线AC交x轴的负半轴与点C.射线AD交y轴的负半轴与点D.当∠CAD绕点A旋转时.OCOD的值是否发生变化?若不变.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，4)，点B的坐标为(2，0)．

(1)求线段AB的长；

(2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；

(3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OCOD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)．

【答案】（1）；（2）；（3）不变，

【解析】

（1）利用勾股定理求解即可；

（2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可；

（3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8．

（1）作AE⊥x轴于点E

∵点A(4，4)，点B(0，2)，．

∴AE=4， BE=6．

∴线段AB

(2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，

∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°，

①当∠BAM=90°时，如图1，

过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2，

设M1（x，0），

AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，

BM12=(2+x)2=x2+4x+4，

AB2=52

∵AM12+AB2 =BM12

∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，

得：x=-20，

∴M1（-20，0）

设M2（0，y）

AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32， BM22=22+y2 =y2+4， AB2=52

∵AM22+AB2 =BM22

∴y2-8y+32+52=y2+4

得：y=10，

∴M2（0，10）

②当∠ABM=90°时，如图2，

过B作AB的垂线，交y轴于点M3，

设M3（0，y）

AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，

BM32=22+y2 =y2+4，

AB2=52

∵BM32+AB2 =AM32

∴y2+4+52=y2-8y+32

得：y=-3，

∴M3（0，-3）

综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3）

(3)不变．OCOD=8．

理由如下：

过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．

则∠AGC=∠AHD=90°，

又∵∠HOC=90°，

∴∠GAH=90°，

∴∠DAG+∠DAH=90°，

∵∠CAD=90°，

∴∠DAG+∠CAG=90°，

∴∠CAG=∠DAH．

∵A(4，4)，

∴OG=AH=AG=OH=4．

在△AGC和△AHD中

∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH

∴△AGC≌△AHD(ASA)，

∴GC=HD．

∴OCOD=(OG+GC)(HDOH)=OG+OH=8．

故OCOD的值不发生变化，值为8

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