Question

如图，抛物线y₁=x²+bx-c经过直线y₂=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ADBC的面积；
（3）直接写出使y₁＜y₂的x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数的性质

专题：

分析：（1）对于一次函数y=x-3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S_{四边形ACBD}=S_△OBC+S_梯形OBDE+S_△AED求面积即可．
（3）根据y₁＜y₂的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．

解答：解：（1）∵直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，
∴点B（0，-3），点A（3，0），
将A与B坐标代入抛物线y=x²+bx-c得：

-c=-3 9+3b-c=0

，
解得：c=3，b=-2，
则抛物线的解析式是y=x²-2x-3；

（2）∵令y=x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3，
∴点C的坐标为（-1，0），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，-4），

作DE⊥AC于点E，
由题意得：OC=1，OB=3，DE=4，OE=1，AE=2，
∴S_{四边形ACBD}=S_△OBC+S_梯形OBDE+S_△AED
=

1

2

OC•OB+

1

2

（OB+DE）•OE+

1

2

AE•ED
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=

3

2

+

7

2

+4
=9；

（3）∵y₁＜y₂，
∴抛物线位于直线的下方，
∴x的取值范围为：0＜x＜3．

点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．