Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①AC²+CE²=AE²；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：②由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）解答；
③过点M作MN⊥BD，垂足为N，则MN∥DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出N为BD中点，由线段垂直平分线的性质得到BM=DM，再根据梯形中位线、等腰直角三角形的性质得出MN=

1

2

BD，则∠BMD=90°，判断③正确；
④通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

解答：解：如图，

①作EF⊥AB，
则AF=a-b，EF=a+b，
∴AE²=AF²+EF²=（a+b）²+（a-b）²=2a²+2b²，
∵AC²=2a²，CE²=2b²，
∴AC²+CE²=AE²；故①正确；
②∵S_△ABC=

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2

a²，S_△CDE=

1

2

b²，S_梯形ABDE=

1

2

（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（a²+b²）≥ab（a=b时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故②正确；
③过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD），
∴∠BMD=90°，即BM⊥DM；故③正确．
④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM；故④正确；
故选 D．

点评：本题考查了勾股定理的运用，考查了梯形中位线性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．