Question

16．先化简，再求值：$\frac{a-b}{a}÷（a-\frac{2ab-{b}^{2}}{a}）$，其中a=6sin30°+cos45°，b=$\sqrt{3}$tan60°．

Answer 1

分析 先把括号内通分，再把分子分解因式后把除法运算化为乘法运算得到原式=$\frac{1}{a-b}$，然后根据特殊角的三角函数值计算出a和b的值，再把a和b的值代入$\frac{1}{a-b}$中计算即可．

解答 解：原式=$\frac{a-b}{a}$÷$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{a}$
=$\frac{a-b}{a}$•$\frac{a}{（a-b）^{2}}$
=$\frac{1}{a-b}$，
∵a=6sin30°+cos45°=6×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{3}$tan60°=$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=3，
∴原式=$\frac{1}{3+\frac{\sqrt{2}}{2}-3}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了特殊角的三角函数值．