Question

（1）先观察下列等式，再完成题后问题：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

  

1

3×4

=

1

3

-

1

4

  

1

4×5

=

1

4

-

1

5

①请你猜想：

1

2010×2011

=

 

；
②若a、b为有理数，且|a-1|+（ab-2）²=0，求：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2009)(b+2009)

的值．
（2）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

1

2

的长方形，接着把面积为

1

2

的长方形等分成两个面积为

1

4

的正方形，再把面积为

1

4

的正方形等分成两个面积为

1

8

的矩形．如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类,有理数的混合运算

专题：

分析：（1）①根据题意类比得出

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
②先根据非负数的性质得出a、b的值，代入原式变形为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

是解题的关键；
（2）由数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可．

解答：解：（1）①

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
②∵|a-1|+（ab-2）²=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2（2分）
原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；
（2）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

=1-

1

256

=

255

256

．

点评：此题考查数字的变化规律和图形的变化规律，从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，利用规律解决问题．