Question

如图1，OA=2，OB=4，以A点为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；
（3）如图3，点F坐标为（-4，-4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）在x轴正半轴，且FH⊥PG，求m+n的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作CD⊥AD，易证∠ACD=∠OAB，即可求证△ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解题；
（2）作DF⊥OP，易证∠APO=∠PDF，即可证明△AOP≌△PFD，可得AO=PF，DE=OF，即可解题；
（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，易证∠EFG=∠DFH，即可证明△EFG≌△DFH，可得EG=DH，即-m-4=n+4，即可解题．

解答：解：如图，

（1）作CD⊥AD，
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，
∴∠ACD=∠OAB，
在△ACD和△BAO中，

∠ADC=∠AOB ∠ACD=∠OAB AC=AB

，
∴△ACD≌△BAO，（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∴点C坐标为（-6，-2）；
（2）作DF⊥OP，
∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△AOP和△PFD中，

∠AOP+∠PFD=90° ∠APO=∠PDF AP=PD

，
∴△AOP≌△PFD，（AAS）
∴AO=PF，DE=OF，
∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；
（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，
则FE=FD=4，
∵∠EFG+∠OFE=90°，∠OFE+∠DFH=90°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，

∠EFG=∠DFH EF=DF ∠FDH=∠FEG

，
∴△EFG≌△DFH，（ASA）
∴EG=DH，即-m-4=n+4，
∴m+n=-8．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BAO，△AOP≌△PFD，△EFG≌△DFH是解题的关键．