Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上运动，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为

 

；
（2）连接AC，BC，在点C运动过程中，△ABC的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°-∠OBA=135°，从而得出答案；
（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB=

2

OA=6

2

，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；

解答：解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°，
当C点在y轴右侧时，∠BOC=180°-∠OBA=135°，
∴∠OBA=45°或135°；
故答案为：45°或135°．

（3）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，
如图：此时C点到AB的距离最大值为CE的长，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴OE=

1

2

AB=3

2

，
∴CE=OC+OE=3+3

2

，△ABC的面积=

1

2

CE•AB=

1

2

（3+3

2

）×6

2

=9

2

+18，
当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9

2

+18．

点评：本题考查了圆的综合题，用到的知识点是平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理进行几何计算是本题的关键．