Question

如图，王军同学上完晚自习放学步行回家，由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后的影子顶部刚好接触到路灯A的底部M，当他向前再步行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部N．已知王军的身高是1.6m，路灯A的高度AM是9.6m，且MP=NQ=x m．
（1）求证：AM=BN；
（2）求两个路灯之间的距离；
（3）当王军走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的应用,中心投影

专题：应用题

分析：（1）如图，由PE∥BN可判断△MPE∽△MNB，利用相似比可得到BN=

PE•MN

MP

；同理可得AM=

FQ•MN

NQ

，利用PE=QF，MP=NQ即可得到AM=BN；
（2）由（1）中

FQ

AM

=

NQ

NM

，即

1.6

9.6

=

x

MN

，得到x=

1

6

MN，再根据MP+PQ+NQ=MN得到

1

6

MN+12+

1

6

MN=MN，然后解关于MN的一次方程即可；
（3）解：如图，AM=9.6m，MN=18m，NG=1.6m，利用NG∥AM得到△KNG∽△KMA，利用相似比可计算出KM的长．

解答：（1）证明：如图，

∵PE∥BN，
∴△MPE∽△MNB，
∴

PE

BN

=

MP

MN

，
∴BN=

PE•MN

MP

；
∵QF∥AM，
∴△NQF∽△NMA，
∴

FQ

AM

=

NQ

NM

，
∴AM=

FQ•MN

NQ

，
而PE=QF，MP=NQ，
∴AM=BN；
（2）解：∵

FQ

AM

=

NQ

NM

，即

1.6

9.6

=

x

MN

，
∴x=

1

6

MN，
而MP+PQ+NQ=MN，
∴

1

6

MN+12+

1

6

MN=MN，
∴MN=18（m）；
（3）解：如图，AM=9.6m，MN=18m，NG=1.6m，

∵NG∥AM，
∴△KNG∽△KMA，
∴

NG

AM

=

KN

KM

，即

1.6

9.6

=

KN

KN+18

，
∴KN=3.6（m），
即当王军走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．

点评：本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．