Question

在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：根据正方形的性质得DA=DC，∠A=∠ADC=90°，则可把Rt△DAE绕点D逆时针旋转90°得到Rt△DCG，如图，根据旋转的性质AE=CG，DE=DG，∠EDG=90°，∠DCG=∠A=90°，则可判断点G在BC的延长线上，所以FG=FC+CG，然后证明△DFE≌△DFG，得到EF=FG，易得EF=FC+AE．

解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DC，∠A=∠ADC=90°，
把Rt△DAE绕点D逆时针旋转90°得到Rt△DCG，如图，
∴AE=CG，DE=DG，∠EDG=90°，∠DCG=∠A=90°，
而∠DCF=90°，
∴点G在BC的延长线上，
∴FG=FC+CG，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDG=∠EDG-∠EDF=45°，
在△DFE和△DFG中，

DF=DF ∠EDF=∠GDF DE=DG

，
∴△DFE≌△DFG（SAS），
∴EF=FG，
∴EF=FC+CG=FC+AE．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．