Question

【题目】（1）问题发现如图1，在和中，，，，连接交于点.填空：①的值为______；②的度数为______．

（2）类比探究如图2，在和中，，，连接交的延长线于点.请判断的值及的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点在同一条直线上时的长．

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2），．理由见解析；（3）2或4．

【解析】

（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值为1；

②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，然后根据三角形的内角和定理先求∠OAB+∠OBA的值，再求∠AMB的值即可；

（2）根据锐角三角比可得，根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，根据相似撒尿性的性质求解即可；

（3）当点与点在同一条直线上，有两种情况：如图3和图4，然后根据旋转的性质和勾股定理，可得AD的长．

（1）①∵，

∴∠BOD=∠AOC，

又∵，，

∴△BOD≌△AOC，

∴BD=AC，

∴=1；

②∵，

∴∠OAB+∠OBA=140°，

∵△BOD≌△AOC，

∴∠CAO=∠DBO，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABM=∠DBO+∠OAB+∠ABM=∠OAB+∠OBA=140°，

∴∠AMB=；

（2）如图2，

，．理由如下：

中，，，

，

同理得：，

，

，

，

，

，∠CAO=∠DBO，

∵∠BEO+∠DBO=90°，

∴∠CAE+∠AEM=90°，

∴∠AMB=90°；

（3） ∵∠A=30°，，

∴OA==3．

如图3，当点D和点A在点O的同侧时，

∵，

∴AD=3-2=2；

如图4，当点D和点A在点O的两侧时，

∵，，OA=3

∴AD=3+1=4．

综上可知，AD的长是2或4．