Question

【题目】如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为，B点的坐标为，连接，过B作轴，垂足为C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在射线上是否存在一点D，使得是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．

Answer 1

【答案】（1），y＝；（2）（19，3）或（，3）．

【解析】

（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）由于点D在射线CB上，所以∠AOD≠90°，当∠OAD＝90°时，先求得直线AD的解析式，进而可求得点D坐标；当∠ODA＝90°时，设AO、BC交于点F，如图2，则易知DF＝，求出点F的坐标和AO的长即可解决问题.

解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数的图象上，∴a＝2×3＝6，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵点A的纵坐标为6，点A在反比例函数y＝图象上，∴A（1，6），

把点A（1，6）、B（2，3）代入中，得：，解得：，

∴一次函数的表达式为；

（2）由于点D在射线CB上，所以∠AOD≠90°.

①当∠OAD＝90°时，如图1，∵直线OA的解析式为：，∴设直线AD的解析式为，

把点A（1，6）代入，得，∴直线AD的解析式为，

当y＝3时，x＝19，∴D（19，3）；

②当∠ODA＝90°时，设AO、BC交于点F，如图2，

∵A（1，6），B（2，3），轴，

∴AF＝OF＝DF＝，F（，3），

∴点D的坐标为（，3）；

综上所述，满足条件的点D坐标为（19，3）或（，3）．