Question

【题目】（2017江苏省苏州市）某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．

（1）求AB、BC的长；

（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．

Answer 1

【答案】（1）AB=8，BC=6；（2）t1=12，t2=20．

【解析】试题分析：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB，AT的长，在Rt△ABT中，根据勾股定理得到BT的长，根据三角函数的定义即可得到结论；

（2）如图，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．根据平行线的性质得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例定理得到．设M，N的横坐标分别为t1，t2，于是得到结论．

试题解析：（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得，AB=8，AT=，在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2，∴BT=，∵tan∠ABD=，∴AD=6，即BC=6；

（2）在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．

则P1Q1∥P2Q2．

∵在图②中，线段MN平行于横轴，∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴

P1P2∥BD，∴ ．即．

又∵CP1+CP2=7，∴CP1=3，CP2=4．

设M，N的横坐标分别为t1，t2，由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16，∴t1=12，t2=20．