【题目】如图,在Rt△ABC中∠ABC=90°,AC的垂直平分线交BC于D点,交AC于E点,OC=OD.
(1)若,DC=4,求AB的长;
(2)连接BE,若BE是△DEC的外接圆的切线,求∠C的度数.
【答案】(1);(2)30°
【解析】
(1)由于DE垂直平分AC,那么AE=EC,∠DEC=90°,而∠ABC=∠DEC=90°,∠C=∠C,易证,△ABC∽△DEC,∠A=∠CDE,于是sin∠CDE=sinA=,AB:AC=DE:DC,而DC=4,易求EC,利用勾股定理可求DE,易知AC=6,利用相似三角形中的比例线段可求AB;
(2)连接OE,由于∠DEC=90°,那么∠EDC+∠C=90°,又BE是切线,那么∠BEO=90°,于是∠EOB+∠EBC=90°,而BE是直角三角形斜边上的中线,那么BE=CE,于是∠EBC=∠C,从而有∠EOB=∠EDC,又OE=OD,易证△DEO是等边三角形,那么∠EDC=60°,从而可求∠C.
解:(1)∵AC的垂直平分线交BC于D点,交AC于E点,
∴∠DEC=90°,AE=EC,
∵∠ABC=90°,∠C=∠C,
∴∠A=∠CDE,△ABC∽△DEC,
∴sin∠CDE=,AB:AC=DE:DC,
∵DC=4,
∴ED=3,
∴DE=,
∴AC=6,
∴AB:6=:4,
∴AB=;
(2)连接OE,
∵∠DEC=90°,
∴∠EDC+∠C=90°,
∵BE是⊙O的切线,
∴∠BEO=90°,
∴∠EOB+∠EBC=90°,
∵E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴BE=EC,
∴∠EBC=∠C,
∴∠EOB=∠EDC,
又∵OE=OD,
∴△DOE是等边三角形,
∴∠EDC=60°,
∴∠C=30°.
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【题目】某商厦今年一月份销售额为万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降,以后加强改进管理,经减员增效,大大激发了全体员工的积极性,月销售额大幅度上升,到四月份销售额猛增到万元,求三、四月份平均每月增长的百分率是多少?
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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△BDM的周长的最小值为_____.
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【题目】某商店销售一种成本为元的水产品,若按元销售,一个月可售出,售价毎涨元,月销售量就减少.
写出月销售利润(元)与售价(元)之间的函数表达式;
当售价定为多少元时,该商店月销售利润为元?
当售价定为多少元时会获得最大利润?求出最大利润.
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【题目】某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动.他们随机抽取部分学生进行“手机使用目的”和“每周使用手机时间”的问卷调查,并绘制成如图①②的统计图。已知“查资料”人人数是40人。
请你根据以上信息解答以下问题
(1)在扇形统计图中,“玩游戏”对应的圆心角度数是_______________。
(2)补全条形统计图
(3)该校共有学生1200人,估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数
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【题目】如图,将Rt△ABO放在平面直角坐标系中,点A、B分别在y轴、x轴上,∠BAO=30°,BC是∠ABO的角平分线,交y轴于点C(0,﹣2),CD⊥AB,垂足为D
(1)求BC的长度.
(2)点P(0,n)是线段AO上的任意一点(点P不与A、C、O重合),以BP为边,在BD的下方画出∠BPE=60°,PE交CD的延长线于点E,在备用图中画出图形,并求CE的长(用含n的式子表示).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线x=1,有下列四个判断:
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=﹣1,x2=3;
②a﹣b+c=0;
③若抛物线上有三个点分别为(﹣2,y1)、(1,y2)、(2,y3),则y1<y2<y3;
④当OC=3时,点P为抛物线对称轴上的一个动点,则△PCA的周长的最小值是,
上述四个判断中正确的 有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于E,且D、E分别是AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=CE.
(1)∠ABC的度数.
(2)求证:BE=FE.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为旋转中心,把点A(3,4)逆时针旋转90°,得到点B,则点B的坐标为( )
A. (4,﹣3) B. (﹣4,3) C. (﹣3,4) D. (﹣3,﹣4)
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