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【题目】如图,在RtABC中∠ABC=90°,AC的垂直平分线交BCD点,交ACE点,OC=OD.

(1)若,DC=4,求AB的长;

(2)连接BE,若BEDEC的外接圆的切线,求∠C的度数.

【答案】(1);(2)30°

【解析】

(1)由于DE垂直平分AC,那么AE=EC,∠DEC=90°,而∠ABC=∠DEC=90°,∠C=∠C,易证,△ABC∽△DEC,∠A=∠CDE,于是sin∠CDE=sinA=,AB:AC=DE:DC,而DC=4,易求EC,利用勾股定理可求DE,易知AC=6,利用相似三角形中的比例线段可求AB;
(2)连接OE,由于∠DEC=90°,那么∠EDC+∠C=90°,又BE是切线,那么∠BEO=90°,于是∠EOB+∠EBC=90°,而BE是直角三角形斜边上的中线,那么BE=CE,于是∠EBC=∠C,从而有∠EOB=∠EDC,又OE=OD,易证△DEO是等边三角形,那么∠EDC=60°,从而可求∠C.

解:(1)AC的垂直平分线交BCD点,交ACE点,

∴∠DEC=90°,AE=EC,

∵∠ABC=90°,C=C,

∴∠A=CDE,ABC∽△DEC,

sinCDE=,AB:AC=DE:DC,

DC=4,

ED=3,

DE=

AC=6,

AB:6=:4,

AB=

(2)连接OE,

∵∠DEC=90°,

∴∠EDC+C=90°,

BE是⊙O的切线,

∴∠BEO=90°,

∴∠EOB+EBC=90°,

EAC的中点,∠ABC=90°,

BE=EC,

∴∠EBC=C,

∴∠EOB=EDC,

又∵OE=OD,

∴△DOE是等边三角形,

∴∠EDC=60°,

∴∠C=30°.

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a﹣b+c=0;

③若抛物线上有三个点分别为(﹣2,y1)、(1,y2)、(2,y3),则y1<y2<y3

④当OC=3时,点P为抛物线对称轴上的一个动点,则△PCA的周长的最小值是

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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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