Question

4．探究与应用
（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，AD=BP，∠A=∠B=∠DPC=90°，求证：△ADP≌△BPC．
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，AD=BP，∠A=∠B=∠DPC=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=BP=5，且满足∠A=∠DPC，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP≌△BPC；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4．

解答 解：（1）∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
在△ADP与△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠ADP=∠BPC}\\{AD=PB}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△BPC；
（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴$\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$，
∴AD•BC=AP•BP；
（3）过点D作DE⊥AB于点E．

∵AD=BD=5，AB=6，
∴AE=BE=3．
由勾股定理可得DE=4．
∴DC=DE=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP≌△BPC．