Question

19．已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①c＜0；②b²-8a＜4ac；③4a-2b+c＜0；④（a+c）²＜b²；⑤c-a＞0，
其中正确的是①③④⑤（填写序号）

Answer 1

分析 ①根据抛物线与y轴的交点在y轴的位置就可确定c的符号；②根据抛物线与x轴的交点可得b²-4ac的符号，根据抛物线的开口可确定a的符号，即可解决问题；③只需结合图象，就可得到x=-2时y=4a-2b+c的符号；④只需结合图象，就可得到当x=-1时y=a-b+c及x=1时y=a+b+c的符号，然后运用平方差公式就可解决问题；⑤根据抛物线的对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$=1可得b=-2a，代入a+b+c＞0，即可解决问题．

解答 解：①由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c＜0，故①正确；
②由抛物线与x轴有两个交点可得b²-4ac＞0，
由抛物线的开口向下可得a＜0，
则有b²-4ac＞0＞8a，即b²-8a＞4ac，故②错误；
③由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，故③正确；
④由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c＞0，
则（a+c）²-b²=（a-b+c）（a+b+c）＜0，
即（a+c）²＜b²，故④正确；
⑤由抛物线的对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$=1可得b=-2a，
代入a+b+c＞0，可得a-2a+c＞0，即c-a＞0，故⑤正确．
故答案为①③④⑤．

点评 本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、与x轴的交点等）、抛物线图象上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．