Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G．

（1）求证：CH是⊙O的切线；

（2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE；

（3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16

【解析】

（1）连接OC，OD，证得∠BAH＝∠BOC，得出AH∥OC，则OC⊥CH，则结论得证；

（2）连接AC，得出CE＝CH，证明Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），则BE＝DH，证出AD＝DH，则可得出结论；

（3）延长CE交⊙O于点F，得出GB＝GC＝5，在Rt△GEB中，sin∠GBE＝，可求出GE＝3，由勾股定理求出BE，证明Rt△AEC∽△Rt△CEB，由可求出AE，再求出AD，则可得出BD的长．

（1）证明：如图，连接OC，OD，

∵BC＝CD，

∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD，

又∵∠BAH＝∠BOD，

∴∠BAH＝∠BOC，

∴AH∥OC，

∵AH⊥CH，

∴OC⊥CH，

∴CH是⊙O的切线；

（2）证明：如图，连接AC，

∵BC＝CD，

∴，

∴∠BAC＝∠CAH，

又∵CE⊥AB，CH⊥AH，

∴CE＝CH，

∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），

∴BE＝DH，

∵点D为AH的中点，

∴AD＝DH，

∴AD＝BE；

（3）解：如图，延长CE交⊙O于点F，

∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，

∴＝＝，

∴∠BCE＝∠CBD，

∴GB＝GC＝5，

在Rt△GEB中，sin∠GBE＝，

∴GE＝3，

∴BE＝＝＝4，

CE＝CG+GE＝5+3＝8，

∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°，

∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，

∴，

即，

∴AE＝16，

∴AB＝AE+BE＝16+4＝20，

在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，

∴AD＝AB＝×20＝12，

∴BD＝＝＝16．