Question

8．如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB₁是△ABC的高，B₁B₂是△ABB₁的高，B₂B₃是△AB₁B₂的高，…，B_n-1B_n是△AB_n-2B_n-1的高，则B_n-1B_n的长是$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出AB₁=CB₁=$\frac{1}{2}$，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，由勾股定理求出BB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出△ABC的面积是$\frac{\sqrt{3}}{4}$；求出S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=S${\;}_{△BC{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，根据三角形的面积公式求出B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，由勾股定理求出BB₂，根据S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=S${\;}_{△B{B}_{1}{B}_{2}}$+S${\;}_{△A{B}_{2}{B}_{1}}$代入求出B₂B₃=$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{3}}$，B₃B₄=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{4}}$，B₄B₅=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{5}}$，推出B_n-1B_n=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=AC，
∵BB₁是△ABC的高，
∴AB₁=CB₁=$\frac{1}{2}$，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，
由勾股定理得：BB₁=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴△ABC的面积是$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
∴S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=S${\;}_{△BC{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{1}{2}$×1×B₁B₂，
B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由勾股定理得：BB₂=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∵S${\;}_{△AB{B}_{1}}$=S${\;}_{△B{B}_{1}{B}_{2}}$+S${\;}_{△A{B}_{2}{B}_{1}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{8}$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}×\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×B₂B₃，
B₂B₃=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
B₃B₄=$\frac{\sqrt{3}}{16}$，
B₄B₅=$\frac{\sqrt{3}}{32}$，
…，
B_n-1B_n=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．