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【题目】如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+mk<0)与y2=ax2+ba>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).

(1)直接写出这两个二次函数的表达式;

(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;

(3)如图2,连接BCCDAD在坐标平面内,求使得BDCADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标

【答案】(1)y1=﹣x2+1,y2=3x2﹣3;(2)存在,理由见解析;(3)(0,﹣)或(,﹣1)或(1,﹣)或(﹣,﹣2).

【解析】1)利用待定系数法即可得出结论;

(2)先确定出MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,进而建立方程2m=4-4m2,即可得出结论;

(3)先利用勾股定理求出AD=,同理:CD=,BC=,再分两种情况:

①如图1,当△DBC∽△DAE时,得出,进而求出DE=,即可得出E(0,-),

再判断出△DEF∽△DAO,得出,求出DF=,EF=,再用面积法求出E'M=,即可得出结论;

②如图2,当△DBC∽△ADE时,得出,求出AE=

E在直线AD左侧时,先利用勾股定理求出PA=,PO=,进而得出PE=,再判断出,即可得出点E坐标,当E'在直线DA右侧时,即可得出结论.

1)∵点A(1,0),B(0,1)在二次函数y1=kx2+m(k<0)的图象上,

∴二次函数解析式为y1=-x2+1,

∵点A(1,0),D(0,-3)在二次函数y2=ax2+b(a>0)的图象上,

∴二次函数y2=3x2-3;

(2)设M(m,-m2+1)为第一象限内的图形ABCD上一点,M'(m,3m2-3)为第四象限的图形上一点,

∴MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2

由抛物线的对称性知,若有内接正方形,

∴2m=4-4m2

∴m=m=(舍),

∵0<<1,

∴存在内接正方形,此时其边长为

(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,

∴AD=

同理:CD=

Rt△BOC中,OB=OC=1,

∴BC=

①如图1,当△DBC∽△DAE时,

∵∠CDB=∠ADO,

∴在y轴上存在E,由

∴DE=

∵D(0,-3),

∴E(0,-),

由对称性知,在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE',

连接EE'DAF点,作E'M⊥ODM,连接E'D,

∵E,E'关于DA对称,

∴DF垂直平分EE',

∴△DEF∽△DAO,

∴DF=,EF=

∵SDEE'=DEE'M=EF×DF=

∴E'M=

∵DE'=DE=

Rt△DE'M中,DM=

∴OM=1,

∴E'(,-1),

②如图2,

当△DBC∽△ADE时,有∠BDC=∠DAE,

∴AE=

E在直线AD左侧时,设AEy轴于P,作EQ⊥ACQ,

∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,

∴PD=PA,

PD=n,

∴PO=3-n,PA=n,

Rt△AOP中,PA2=OA2+OP2

∴n2=(3-n)2+1,

∴n=

∴PA=,PO=

∵AE=

∴PE=

AEQ中,OP∥EQ,

∴OQ=

∴QE=2,

∴E(-,-2),

E'在直线DA右侧时,

根据勾股定理得,AE=

∴AE'=

∵∠DAE'=∠BDC,∠BDC=∠BDA,

∴∠BDA=∠DAE',

∴AE'∥OD,

∴E'(1,-),

综上,使得△BDC与△ADE相似(其中点CE是对应顶点)的点E的坐标有4个,

即:(0,-)或(,-1)或(1,-)或(-,-2).

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