Question

3．在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C=72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC=100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD=BD=BC．正确的序号有（　　）

• A． ①③④
• B． ①④⑤
• C． ①②⑤
• D． ②④⑤

Answer 1

分析 根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．

解答 解：∵△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=$\frac{180°-∠A}{2}$=72°，
故①正确；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°，
∴BD是∠ABC的平分线，
故②错误；
∵在△BCD中，∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠C）=180°-（36°+72°）=72°．
故③错误；
∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形；
故④正确；
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴∠CBD=36°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故⑤正确．
故选B．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．