问题提出:数学活动课上.老师出示了一个问题:如图1.将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起.其中∠ACB=∠E=90°.BC=DE=6.AC=FE=8.顶点D与边AB的中点重合.DE经过点C.DF交AC于点G．求重叠部分的面积．(1)独立思考:请直接写出△DCG的面积是6．(2)合作交流:“追梦小组受此问题的启发.将� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．问题提出：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．
（1）独立思考：请直接写出△DCG的面积是6．
（2）合作交流：“追梦”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）变式探究：如图3，“智慧”小组将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．

分析（1）先求出∠B=∠DCB，再证明DG∥BC，然后证出DG⊥AC，G是AC的中点．即可求出$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6；
（2）如图2所示：先证明AG=GH，再求出AD=$\frac{1}{2}$AB=5．，然后证明△ADH∽△ACB，得出比例式$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，即可求出S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答图2所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解．

解答解：（1）△DCG的面积是6．
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DB=DA．
∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，
∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB．
∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°．
∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，
∴G是AC的中点．
∴CG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×8=4，DG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴$S△DCG=\frac{1}{2}•CG•DG=\frac{1}{2}$×4×3=6．
（2）如答图1所示：
∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，（4分）
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵D是AB中点，∴AD=$\frac{1}{2}$AB=5．
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$，即 $\frac{5}{8}$=$\frac{DH}{6}$，解得DH=$\frac{15}{4}$，
∴S_△DGH=$\frac{1}{2}$S_△ADH=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×DH×AD=$\frac{1}{4}$×$\frac{15}{4}$×5=$\frac{75}{16}$．
（3）如答图2，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=$\frac{1}{2}$BC=3．
∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，
由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴$\frac{KN}{BC}=\frac{DK}{AC}$，即$\frac{KN}{6}=\frac{3}{8}$，得KN=$\frac{9}{4}$，
设DM=MN=x，则MK=x-$\frac{9}{4}$，
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK²+DK²=MD²，
即：（x-K$\frac{9}{4}$）²+3²=x²，解得x=$\frac{25}{8}$，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$•MN•DK=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{8}$×3=$\frac{75}{16}$．

点评本题考查了全等三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理和三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，培养学生综合运用定理进行推理论证和计算的能力．

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