Question

7．如图，一次函数y=k₁x+b的图象与y轴交于点A（0，10），与正比例函数y=k₂x的图象交于第二象限内的点B，且△AOB的面积为15，AB=BO，求正比例函数与一次函数表达式．

Answer 1

分析 作BC⊥OA于C点，如图，根据等腰三角形的性质得OC=AC=$\frac{1}{2}$OA=5，则C（0，5），再利用三角形面积公式得$\frac{1}{2}$×10•BC=15，解得BC=3，所以B（-3，5），然后利用待定系数法分别求直线OB的解析式和直线AB的解析式即可．

解答 解：作BC⊥OA于C点，如图，
∵AB=BO，
∴OC=AC=$\frac{1}{2}$OA=5，
∴C（0，5），
∵△AOB的面积为15，
∴$\frac{1}{2}$OA•BC=15，即$\frac{1}{2}$×10×BC=15，解得BC=3，
∴B（-3，5），
设直线OB的解析式为y=k₂x，
把B（-3，5）代入得-3k₂=5，解得k₂=-$\frac{5}{3}$，
∴直线OA的解析式为y=-$\frac{5}{3}$x；
设直线AB的解析式为y=k₁x+b，
把B（-3，5）、A（0，10）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{5=-3{k}_{1}+b}\\{10=b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{5}{3}}\\{b=10}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{5}{3}$x+10，
即正比例函数和一次函数的解析式分别为y=-$\frac{5}{3}$x，y=$\frac{5}{3}$x+10

点评 本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了待定系数法求一次函数解析式．