Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F

(1)求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；

(2)若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；

(3)若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3； (2) 正方形的面积为24+8或24﹣8； (3) 点M的横坐标为﹣1或．

【解析】

（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣3，利用待定系数法即可求得二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则m＞1，分别表示出ME=|﹣m2+2m﹣3|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得m的值，进而求出正方形的面积；（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则t＜1，则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．

(1)把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，

得：，

解得，

故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

(2)由(1)知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．

如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

∴点N的横坐标为2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），

当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），

当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；

综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．

(3)设BC所在直线解析式为y=px+q，

把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，

得：，解得： ，

∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3，

设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，

则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），

∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．

∵MD=MN，

∴|t2﹣3t|=2﹣2t，

分两种情况：

①当t2﹣3t=2﹣2t时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．

②当3t﹣t2=2﹣2t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．

综上所述，点M的横坐标为﹣1或．