Question

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D，BC=6，AB=3．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠B=60°，连接AC，求证：AC⊥AB．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）通过AAS证得△ABC≌△CDA得到AB=CD，则由“有一组对边相等且平行的四边形为平行四边形”证得结论；
（2）作AE⊥BC，利用勾股定理得出AC，验证．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCB．
在△ABC与△CDA中，

∠B=∠D ∠BAC=∠DCA AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB=CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）如图，过点A作AE⊥BC于点E．
∵∠B=60°，AB=3，
∴AE=AB•sin60°=

3 3

2

，BE=

1

2

AB=

3

2

．
又∵BC=6，
∴EC=BC-BE=

9

9

，
∴在直角△AEC中，由勾股定理得：AC=

AE2+EC2

=

37 4 + 81 4

=

118 4

．
又∵AC²=AB²+BC²，
∴∠BAC=90°，即AC⊥AB．

点评：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理．解答（2）题时，根据题意作出辅助线是解题的难点．