Question

如图，在等边△ABC中，BC=8，D为AB中点，点E在BC上，点F在AC上，满足AF=3CF，DE平分∠BDF，则BE=

 

．

Answer 1

考点：等边三角形的性质

专题：

分析：过D作DG⊥AC，EM⊥BD，EN⊥DF，FH⊥BC，根据等边三角形和直角三角形的性质，通过解直角三角形求得DG=2

3

，AF=6，CF=2，DF=2

7

，设BE=x，进一步求得EM=EN=

3

2

x，FH=

3

，CE=8-x，根据S_△ABC=S_△ADF+S_△BED+S_△DEF+S_△EFC得出关于x的方程，解方程即可求得BE的长．

解答：解：如图，过D作DG⊥AC，EM⊥BD，EN⊥DF，FH⊥BC，
∵AB=BC=CA，BD=AD，AF=3CF，AB=8，
∴DG=2

3

，AF=6，CF=2，
∴DF=2

7

，
∵∠BDE=∠PDE，EM⊥BD，EN⊥DF，
∴EM=EN，
设BE=x，
∵∠B=∠C=60°，
∴EM=EN=

3

2

x，FH=

3

，CE=8-x，
∴S_△ABC=S_△ADF+S_△BED+S_△DEF+S_△EFC=

1

2

×6×2

3

+

1

2

×4×

3

2

+

1

2

×2

7

×

3

2

+

1

2

（8-x）•

3

=

1

2

×8×8×

3

2

，
∴x=2

7

-2，
即BE=2

7

-2．
故答案为2

7

-2．

点评：本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，以及解直角三角形，三角形的面积公式的应用等，作出辅助线构建直角三角形是关键．