Question

【题目】有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．说明：RP=RQ．请探究下列变化：

变化一：交换题设与结论．

已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ．

求证：RQ为⊙O的切线．

变化二：运动探究：

（1）如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断）

（2）如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？

（3）若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？（只需交待判断）

Answer 1

【答案】变化一：见解析；变化二：（1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立；（2）原题中的结论还成立，理由见解析；（3）原题中的结论还成立.

【解析】

原命题的证明：连接OQ，利用RQ为⊙O的切线，得出∠OQB+∠PQR=90°；根据半径OB=OQ及OA⊥OB，得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°；从而得∠PQR=∠QPR，由在同一个三角形中，等角对等边，证明结论.

变化一的证明：与原命题的证明过程相反，由RP=RQ，可知∠PQR=∠QPR=∠BPO；由OB=OQ，OA⊥OB得出∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°；再利用互余关系将角进行转化，证明∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°；最后由∠OQR=90°即可知RQ为⊙O的切线；

变化二的证明：连接OQ，仿照原命题的证明方法进行即可.

证明：连接OQ，

∵RQ为⊙O的切线，

∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠PQR=∠BPO，

而∠BPO=∠QPR，

∴∠PQR=∠QPR，

∴RP=RQ；

变化一：

证明：∵RP=RQ，∴∠PQR=∠QPR=∠BPO，

又∵OB=OQ，OA⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠OQB+∠PQR=90°，即∠OQR=90°，

∴RQ为⊙O的切线；

变化二．

（1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立；

（2）原题中的结论还成立．

理由：连接OQ，

∵RQ为⊙O的切线，

∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°，

又∵OB=OQ，OP⊥OB，

∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°，

∴∠RQP=∠BPO，

∴RP=RQ；

（3）原题中的结论还成立，如图．