Question

【题目】（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是的平分线上一点，若，求证：为等腰三角形.下面给出此问题一种证明的思路，你可以按这一思路继续完成证明，也可以选择另外的方法证明此结论．证明：在AB边上截取AE=MC，连接ME，在正方形ABCD中，，AB=BC，（下面请你连接AN，完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是的平分线上一点，则当时，试探究是何种特殊三角形，并证明探究结论．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形，试猜想：当的大小为多少时，（1）中的结论仍然成立？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）为等腰三角形，理由见解析；（2）．理由见解析

【解析】

（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN；
（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN；
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角，即等于时，结论AM=MN仍然成立．

（1）证明：如图1，在边AB上截取AE=MC，连接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，
∴∠AEM=135°，
∵N是∠DCP的平分线上一点，
∴∠NCP=45°，
∴∠MCN=135°，
在△AEM与△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

∴为等腰三角形.
（2）为等腰三角形，

证明：如图2，在边AB上截取AE=MC，连接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∵N是∠ACP的平分线上一点，
∴∠ACN=60°，
∴∠MCN=120°，
在△AEM与△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

∴为等腰三角形.
（3）当∠AMN=时，结论为等腰三角形仍然成立．

∵当AM=MN时，△AEM≌△MCN，
此时∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°-∠NMC-∠AMB，∠MAE=180°-∠BAM-∠AMB，
∴∠AMN=∠B=，
∴将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，则
当∠AMN=时，结论为等腰三角形仍然成立．
故答案为：．