Question

（1）①如图，点B、F、D在射线AM上，点G、C、E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，求∠A的度数．
②如图，P₁是反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A₁的坐标为（2，0）．若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，求A₂点的横坐标．

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）①设∠A=x，利用等边对等角得到∠AFG=∠ACB=x，∠CGF=∠CEF=∠CBF=∠CDF=2x，∠ECD=∠CED=∠EFD=∠EDF=3x，利用内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数；
②△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，且△P₁OA₁边长为2，确定出P₁坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D，设A₁D=a，则OD=2+a，P₂D=

3

a，表示出P₂坐标，代入反比例解析式求出a的值，即可确定出A₂点的横坐标；
（2）从思路方面考虑两小题有共同点，写出即可．

解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，设∠A=x，
则∠AFG=∠ACB=x，∠CGF=∠CEF=∠CBF=∠CDF=2x，
∠ECD=∠CED=∠EFD=∠EDF=3x，而∠A+∠CED+∠EDF=180°，
故x=

180°

7

，即∠A=

180°

7

；
②过P₁作P₁C⊥OA₁，
∵△P₁OA₁为边长是2的等边三角形，
∴OC=1，P₁C=2×

3

2

=

3

，
∴P₁（1，

3

），代入y=

k

x

，得k=

3

，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

，
作P₂D⊥A₁A₂，垂足为D，
设A₁D=a，则OD=2+a，P₂D=

3

a，
∴P₂（2+a，

3

a），
∵P₂（2+a，

3

a）在反比例函数的图象上，
∴代入y=

3

x

，得（2+a）•

3

a=

3

，
化简得a²+2a-1=0解得：a=-1±

2

，
∵a＞0，
∴a=-1+

2

，
∴A₁A₂=-2+2

2

，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=2

2

，
则点A₂的坐标为（2

2

，0）；
（2）两小题的共同点为：用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维方法或方程思想．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．