Question

已知抛物线y=

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x²+mx+n（n≠0）与直线y=x交于两点A、B，与y轴交于点C，OA=OB，BC∥x轴．

（1）抛物线的解析式；
（2）设D、E是线段AB上异于AB的两个动点（点E在点D的右上方），DE=

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，过点D作y轴的平行线，交抛物线于F．设点D的横坐标为t，△EDF的面积为s，把s表示为t的函数，并求自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，再过点E作y轴的平行线，交抛物线于G，试问能不能适当选择点D的位置，使EG=DF？如果能，求出此时点D的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出C（0，n），进而得出B（n，n），A（-n，-n），然后根据待定系数法即可求得解析式；
（2）过E作EH⊥DF，H为垂足，由DE=

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，求得EH=1，设D（t，t），则F（t，

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t²+t-2），进而求得DF的长，根据三角形的面积公式即可求得把s表示为t的函数；
（3）根据D（t，t），EH=1，得出E（t+1，t+1），G[t+1，

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2

（t+1）²+（t+1）-2]，根据EG=DF得出关于t的方程，解这个方程求得t的值，进而求得D的坐标．

解答：解：（1）令x=0，得y=n，
∴C（0，n），B（n，n），A（-n，-n），
把A、B坐标代入y=

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2

x²+mx+n（n≠0）得

n= 1 2 n2+mn+n -n= 1 2 n2-mn+n

，解得

m=1 n=-2

，
∴抛物线的解析式为y=

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2

x²+x-2；

（2）如图1，过E作EH⊥DF，H为垂足，∵DE=

2

，
∴EH=1，
设D（t，t），则F（t，

1

2

t²+t-2），
∴DF=t-（

1

2

t²+t-2）=2-

1

2

t²
∴S_△EDF=

1

2

DF•EH=1-

1

4

t，（-2＜t＜1）；

（3）如图2，∵D（t，t），EH=1，
∴E（t+1，t+1），G[t+1，

1

2

（t+1）²+（t+1）-2]，
∵EG=DF，
∴

1

2

（t+1）²+（t+1）-2--（

1

2

t²+t-2）=1，解得t=-

1

2

，
∴D（-

1

2

，-

1

2

）；

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的面积等知识点．试题有难度，需要仔细分析，认真计算．