【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)一般情况,证明结论:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你继续完成对以上问题(1)中所填写结论的证明)
(3)拓展结论,设计新题:
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC. 若△ABC的边长为1,AE=2,则CD的长为_______(请直接写出结果).
【答案】(1)=;(2)=;(3)1或3.
【解析】
(1)当E为中点时,过E作EF∥BC交AC于点F,则可证明△BDE≌△FEC,可得到AE=DB;
(2)类似(1)过E作EF∥BC交AC于点F,可利用AAS证明△BDE≌△FEC,可得BD=EF,再证明△AEF是等边三角形,可得到AE=EF,可得AE=DB;
(3)分为四种情况:画出图形,根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可.
解:(1)如图1,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,
∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,
∴∠EDB=∠FEC,
在△BDE和△FEC中,
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF,
∴AE=BD,
故答案为:=;
(2)如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°,△AEF为等边三角形,
∴∠EFC=∠EBD=120°,EF=AE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,∠ECB=∠FEC,
∴∠EDB=∠FEC,
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC(AAS),
∴BD=EF,
∴AE=BD.
(3)解:分为四种情况:
如图3,
∵AB=AC=1,AE=2,
∴B是AE的中点,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°,
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半),
即CD=1+2=3.
如图4,
过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,
∵等边三角形ABC,EC=ED,
∴BN=CN=BC=,CM=MD=CD,AN∥EM,
∴△BAN∽△BEM,
∴,
∵△ABC边长是1,AE=2,
∴,
∴MN=1,
∴CM=MN﹣CN=1﹣=,
∴CD=2CM=1;
如图5,
∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,
∴此时不存在EC=ED;
如图6,
∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECD>∠EDC,
即此时ED≠EC,
∴此时情况不存在,
答:CD的长是3或1.
故答案为:1或3.
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【题目】请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题计分.
A.一个正n边形(n>4)的内角和是外角和的3倍,则n=;
B.小明站在教学楼前50米处,测得教学楼顶部的仰角为20°,测角仪的高度为1.5米,则此教学楼的高度为米.(用科学计算器计算,结果精确到0.1米)
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【题目】已知:如图,△ABC是边长3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t(s),解答问题:当t为何值时,△PBQ是直角三角形?
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【题目】观察下图,回答问题.
(1)反映了哪两个变量之间的关系?
(2)点A,B分别表示什么?
(3)说一说速度是怎样随时间变化而变化的;
(4)你能找到一个实际情境,大致符合下图所刻画的关系吗?
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【题目】如图,在△ABC、△ADE中,C、D两点分别在AE、AB上,BC、DE交于点F,若BD=DC=CE,∠ADC+∠ACD=114°,则∠DFC为( )
A.114°
B.123°
C.132°
D.147°
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【题目】如图①.在△ABC中,AB=AC,∠ABC=60°,延长BA至点D,延长CB至点E,使BE=AD,连接CD、AE.
(1)求证:△ACE≌△CBD;
(2)如图②,延长EA交CD于点G,则∠CGE的度数是 度.
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【题目】在平面直角坐标系中,对于任意三点的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”是任意两点横坐标差的最大值;“铅垂高”是任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”.例如:三点的坐标分别为,则“水平底”,“铅垂高”,“矩面积”.根据所给定义解决下面的问题:
(1)若点的坐标分别为,求这三点的“矩面积”;
(2)若点,含有的式子表示这三点的“矩面积”(结果需化简);
(3)已知点,在轴上是否存在点,使这三点的“矩面积”为20?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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