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【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.

小明与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:

1)特殊情况,探索结论

当点EAB的中点时,如图1,确定线段AEDB的大小关系,请你直接写出结论:AE______DB(填“=”).

2)一般情况,证明结论:

如图2,过点EEFBC,交AC于点F.(请你继续完成对以上问题(1)中所填写结论的证明)

3)拓展结论,设计新题:

在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC 若△ABC的边长为1AE=2,则CD的长为_______(请直接写出结果).

【答案】1=;(2=;(313

【解析】

1)当E为中点时,过EEFBCAC于点F,则可证明△BDE≌△FEC,可得到AE=DB

2)类似(1)过EEFBCAC于点F,可利用AAS证明△BDE≌△FEC,可得BD=EF,再证明△AEF是等边三角形,可得到AE=EF,可得AE=DB

3)分为四种情况:画出图形,根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可.

解:(1)如图1,过点EEFBC,交AC于点F

∵△ABC为等边三角形,

∴∠AFE=ACB=ABC=60°,△AEF为等边三角形,

∴∠EFC=EBD=120°EF=AE

ED=EC

∴∠EDB=ECB,∠ECB=FEC

∴∠EDB=FEC

在△BDE和△FEC中,

∴△BDE≌△FECAAS),

BD=EF

AE=BD

故答案为:=

2)如图2,过点EEFBC,交AC于点F

∵△ABC为等边三角形,

∴∠AFE=ACB=ABC=60°,△AEF为等边三角形,

∴∠EFC=EBD=120°EF=AE

ED=EC

∴∠EDB=ECB,∠ECB=FEC

∴∠EDB=FEC

在△BDE和△FEC

∴△BDE≌△FECAAS),

BD=EF

AE=BD

3)解:分为四种情况:

如图3

AB=AC=1AE=2

BAE的中点,

∵△ABC是等边三角形,

AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),

∴∠ACE=90°,∠AEC=30°

∴∠D=ECB=BEC=30°,∠DBE=ABC=60°

∴∠DEB=180°30°60°=90°

即△DEB是直角三角形.

BD=2BE=230°所对的直角边等于斜边的一半),

CD=1+2=3

如图4

AANBCN,过EEMCDM

∵等边三角形ABCEC=ED

BN=CN=BC=CM=MD=CDANEM

∴△BAN∽△BEM

∵△ABC边长是1AE=2

MN=1

CM=MNCN=1=

CD=2CM=1

如图5

∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,

∴此时不存在EC=ED

如图6

∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB

又∵∠ABC=ACB=60°

∴∠ECD>∠EDC

即此时ED≠EC

∴此时情况不存在,

答:CD的长是31

故答案为:13

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B.123°
C.132°
D.147°

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