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【题目】如图所示,平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3交坐标轴与BC两点,抛物线yax2+bx+3经过BC两点,且交x轴于另一点A(﹣10).点D为抛物线在第一象限内的一点,过点DDQCODQBC于点P,交x轴于点Q

1)求抛物线解析式;

2)设点P的横坐标为m,在点D的移动过程中,存在∠DCP=∠ACO,求出m值;

3)在抛物线取点E,在坐标系内取点F,问是否存在以CBEF为顶点且以CB为边的矩形?如果有请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2m;(3)存在,当点E14)或(﹣2,﹣5)时,以CBEF为顶点且以CB为边的矩形.

【解析】

1)利用一次函数与坐标轴相交,求出BC两点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;
2)如图,过点DDH⊥BCH,点,点,利用参数求出DHCH的长,由锐角三角函数可求解;
3)分两种情况讨论,求出直线CE的方程或BE的方程,联立方程组可求解.

1直线y=﹣x+3交坐标轴与BC两点,

B30),点C03),

抛物线经过BC两点,且交x轴于另一点A(﹣10),

解得:

抛物线解析式为:

2)如图,过点DDH⊥BCH

B30),点C03),点A(﹣10),

∴CO3BOAO1

∴∠BCO∠CBO45°BC3

∵DQ⊥OB

∴∠BPQ∠PBQ45°

∴PQQBBPPQ

P的横坐标为m

,点

∴PQ=﹣m+3

BP(﹣m+3

∵∠DPH∠BPQ45°DH⊥BC

∴∠HDP∠DPH45°

∴DHPH

∴CH3(﹣m+3)﹣

∵∠DCP∠ACO

∴tan∠DCPtan∠ACO

∴m0(舍去),m

3)存在,

CE⊥BC时,

直线CE解析式为:yx+3

(舍去),

E坐标

BE⊥BC时,

直线BE解析式为:yx3

(舍去),

E坐标

综上所述:当点时,以CBEF为顶点且以CB为边的矩形.

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如:

.

理解定义:

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.

拓展应用:

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