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【题目】如图,已知D是⊙O上一点,AB是直径,∠BAD的平分线交⊙O于点E,⊙O的切线BCOE的延长线于点C,连接ODCD

1)求证:CDOD

2)若AB2,填空:

CE   时,四边形BCDO是正方形.

作△AEO关于直线OE对称的△FEO,连接BFBE,当四边形BEOF是菱形时,求CE的长.

【答案】1)见解析;(2)①1;②CE1

【解析】

1)证出∠DAE∠OEA,得出,由圆周角定理证出∠BOC∠BAD∠DOC,证明△ODC≌△OBCSAS),得出∠ODC∠OBC90°,即可得出结论;
2求出,由(1)得∠OBC90°△ODC≌△OBC,由勾股定理得出,得出OBBCDCOD,证出四边形BCDO是菱形,由∠OBC90°,即可得出结论;
由菱形的性质得出BEOE1,得出∠EOB∠EBO,证出∠BCE∠CBE,即可得出CEBE1

1∵BC⊙O的切线,

∴BC⊥OB

∴∠OBC90°

∵AE∠BAD的平分线,

∴∠DAE∠BAE

∵OAOE

∴∠BAE∠OEA

∴∠DAE∠OEA

∴∠BOC∠BAD

∵∠BOD∠BOC+∠DOC2∠BAD

∴∠BOC∠BAD∠DOC

△ODC△OBC中,

∴△ODC≌△OBCSAS),

∴∠ODC∠OBC90°

∴CD⊥OD

2CE1时,四边形BCDO是正方形;理由如下:

∵AB2

∴OBOEOD1

∴OCOE+CE

由(1)得:∠OBC90°△ODC≌△OBC

∴DCBC1

∴OBBCDCOD

四边形BCDO是菱形,

∵∠OBC90°

四边形BCDO是正方形;

故答案为:1

如图所示:

∵△AEO△FEO关于直线OE对称,

∴OFOA

∴F⊙O上,

四边形BEOF是菱形,

∴BEOE1

∴∠EOB∠EBO

∵∠EOB+∠BCE90°∠EBO+∠CBE90°

∴∠BCE∠CBE

∴CEBE1

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