Question

4．如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k＜0）的图象与矩形OABC的边相交于E、F两点，连接EF，且BE=2AE，点E坐标为（-2，3）．
（1）求k值；
（2）求tan∠BEF；
（3）若点M、N分别在线段OA、OC上，OM=ON，点P在反比例函数图象上，PM⊥OA，连接MN、PM、PN．当∠PNM=90°时，求PM的长．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据E的坐标BE=2AE求得BE，进一步求得B的坐标，得出F的横坐标，代入反比例函数y=-$\frac{6}{x}$，求得纵坐标，从而求得BF，即可求得tan∠BEF；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，证得四边形OGPM是矩形以及△MON和△PNG是等腰直角三角形，从而求得P点的坐标，PM=OG=2m，把P的坐标代入反比例函数y=-$\frac{6}{x}$，求得m的值，即可求得PM．

解答 解：（1）∵点E（-2，3）在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上，
∴k=-2×3=-6；
（2）∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥x轴，
∵点E（-2，3），
∴AE=2，
∵BE=2AE，
∴BE=4，
∴AB=6，
∴B的横坐标为-6，
∴F的横坐标为-6，
代入y=-$\frac{6}{x}$得y=-$\frac{6}{-6}$=1，
∴F（-6，1），
∵BC=OA=3，
∴BF=2，
∴tan∠BEF=$\frac{BF}{BE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
（3）设P的纵坐标为m，作PG⊥OC于G，
∵PM⊥OA，
∴M的纵坐标为m，四边形OGPM是矩形，
∴OM=m，PM=OG，
∵OM=ON，
∴ON=m，△MON是等腰直角三角形，
∴∠MNO=45°，
∵∠PNM=90°，
∴∠PNC=45°，
∴△PNG是等腰直角三角形，
∴PG=NG=m，
∴OG=2m，
∴P（-2m，m），
代入入y=-$\frac{6}{x}$得m=-$\frac{6}{-2m}$，
解得m=$\sqrt{3}$，
∴OG=2$\sqrt{3}$，
∴PM=2$\sqrt{3}$．

点评 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．