Question

18．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过O点的直线AD、BC于点E、F．求证：AE+BF=AB．

Answer 1

分析 由菱形的性质易证△BOF≌△DOE，所以DE=BF，因为AD=AE+DE，所以AB=AD=AE+BF，问题得证．

解答 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，
∵点O是菱形ABCD对角线的交点，
∴BO=DO，
在△BOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBO=∠EDO}\\{BO=DO}\\{∠BOF=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=AE+BF，
即AE+BF=AB．

点评 本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质以及全等三角形的各种判定方法是解题关键．