Question

8．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC=α
（1）如图1，若α=40°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，∠AOE=？
（2）如图2，若∠AOD=$\frac{1}{3}$∠AOC，∠DOE=60°，请用α来表示∠AOE=？
（3）如图3，若∠AOD=$\frac{1}{n}$∠AOC，∠DOE=$\frac{180°}{n}$（n≥2，且为正整数），
探究：∠AOE与∠BOC的数量关系．（直接写出结果，不要求写过程）

Answer 1

分析 （1）由∠BOC=α=40°，根据邻补角的定义可得∠AOC=140°，再利用角平分线的定义，由OD平分∠AOC，可得∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°，即可得到∠AOE=∠DOE-∠AOD=20°；
（2）由∠BOC=α，根据邻补角的定义可得∠AOC=180°-α，因为∠AOD=$\frac{1}{3}$∠AOC，所以∠AOD=$\frac{1}{3}$（180°-α）=60°-$\frac{1}{3}$α，再利用角的和差关系得到∠AOE=∠DOE-∠AOD=60°-（60°-$\frac{1}{3}$α）=$\frac{1}{3}$α；
（3）由∠BOC=α，根据邻补角的定义可得∠AOC=180°-α，因为∠AOD=$\frac{1}{n}$∠AOC，利用等量代换可得∠AOD=$\frac{1}{n}$（180°-α）=$\frac{180°}{n}$-$\frac{α}{n}$，根据角的和差关系即可得到∠AOE=∠DOE-∠AOD=$\frac{180°}{n}$-（$\frac{180°}{n}$-$\frac{α}{n}$）=$\frac{α}{n}$．

解答 解：（1）∵∠BOC=α=40°，
∴∠AOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=20°；
（2）∵∠BOC=α，
∴∠AOC=180°-α，
∵∠AOD=$\frac{1}{3}$∠AOC，
∴∠AOD=$\frac{1}{3}$（180°-α）=60°-$\frac{1}{3}$α，
∵∠DOE=60°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=60°-（60°-$\frac{1}{3}$α）=$\frac{1}{3}$α；
（3）∠AOE与∠BOC的数量关系为：∠AOE=$\frac{α}{n}$．

点评 本题主要考查了角平分线的定义，角的和差关系，得到角之间的和差关系是解题的关键．