Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB．
（1）想想看，你能得到什么结论？
（2）若过点O作一直线EF和边BC平行，与AB交于点E，与AC交于点F．则图（2）中有几个等腰三角形？线段EF和EB、FC之间有怎样的关系？
（3）若∠ABC≠∠ACB，其他条件不变，图（3）中是否还有等腰三角形？（2）中第二问的关系是否还存在？写出你的理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,平行线的性质

专题：探究型

分析：（1）由条件可得到∠OBC=∠OCB，可得到OB=OC；
（2）由平行和角平分线可得到∠EBO=∠EOB，可得到OE=BE，同理OF=CF，则AE=AF，结合（1）OB=OC，所以共有5个等腰三角形，可得到EF=BE+FC；
（3）同（2）可得EO=EB，FO=FC，所以存在等腰三角形，关系仍然存在．

解答：解：（1）可得结论OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形；
（2）∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=EB，
∴△EOB为等腰三角形，
同理可得FO=FC，
∴△FOC为等腰三角形，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFE，
∴AE=AF，
∴△AEF为等腰三角形，
由（1）可知OB=OC，
∴△OBC为等腰三角形，
综上可知有五个等腰三角形，
∵EO=BE，OF=CF，
∴EF=EO+OF=BE+CF；
（3）有等腰三角形，关系式仍然存在，
同（2）可知BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO为等腰三角形，
EF=BE+CF．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，注意利用平行线的性质和角平分线的定义得到角相等是解题的关键．