【题目】(1)在中,,(如图1),与有怎样的数量关系?试证明你的结论.
(2)图2,在四边形中,相于点,,,,,求长.
【答案】(1)AB=2BC,证明见解析;(2)-1.
【解析】
(1)取AB的中点D,连接DC,得AD=BD=CD,再证明△DBC是等边三角形得BD=BC,从而可证明AB=2BC;
(2)过点A作AF⊥BD于点F,先确定∠2及∠3的度数,在Rt△AFB中求出AF,BF;Rt△AEF中,求出EF,AE,在Rt△ABD中求出DB,继而得出DE.
(1)AB=2BC
证明:取AB的中点D,连接DC,
∵∠ACB=90°,CD为斜边AB上的中线
∴AD=BD=CD
∴∠A=∠ACD=30°,∠B=∠BCD
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=120°
∴∠B=∠BCD=∠ADC=60°
∴△DBC是等边三角形
∴BD=BC
∴AB=2BD=2BC
即AB=2BC
(2)过点A作AF⊥BD于点F,
∵∠CDB=90°,∠1=30°,
∴∠2=∠3=60°,
在△AFB中,∠AFB=90°,
∵∠4=45°,AB=,
∴AF=BF=,
在Rt△AEF中,∠AFE=90°,
∴EF=1,AE=2,
在△ABD中,∠DAB=90°,AB=,
∴DB=2,
∴DE=DB-BF-EF=-1.
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【题目】课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.
(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成,如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计算.
(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
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【题目】周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.
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【题目】如图,AB// CD,Rt△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,∠EFG=90°,∠E=32°.
(1)∠FGE= °
(2)若GE平分∠FGD,求∠EFB的度数.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1;
(3)四边形AA2C2C的面积是 平方单位.
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【题目】正方形ABCD的边长AB=2,E为AB的中点,F为BC的中点,AF分别与DE、BD相交于点M,N,则MN的长为( )
A. B. ﹣1 C. D.
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【题目】现有3张边长为的正方形纸片(类),5张边长为的矩形纸片(类),5张边长为的正方形纸片(类).
我们知道:多项式乘法的结果可以利用图形的面积表示.
例如:就能用图①或图②的面积表示.
(1)请你写出图③所表示的一个等式:_______________;
(2)如果要拼一个长为,宽为的长方形,则需要类纸片_____张,需要类纸片_____张,需要类纸片_____张;
(3)从这13张纸片中取出若干张,每类纸片至少取出一张,把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸张进行无缝隙,无重叠拼接),则拼成的正方形的边长最长可以是_______(用含的式子表示).
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【题目】我们定义:如果两个等腰三角形的顶角相等,且项角的顶点互相重合,则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边,形象的可以看作两双手,所以通常称为“手拉手模型”.例如,如(1),与都是等腰三角形,其中,则△ABD≌△ACE(SAS).
(1)熟悉模型:如(2),已知与都是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,且,求证:;
(2)运用模型:如(3),为等边内一点,且,求的度数.小明在解决此问题时,根据前面的“手拉手全等模型”,以为边构造等边,这样就有两个等边三角形共顶点,然后连结,通过转化的思想求出了的度数,则的度数为 度;
(3)深化模型:如(4),在四边形中,AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,求的长.
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【题目】小明和他的同学根据抛掷两枚硬币时记录的实验结果,制作“出现两个正面”的频数、频率表如下:
抛掷次数 | |||||||||
出现两个正面的频数 | |||||||||
出现两个正面的频率 |
在大数次抛掷两枚硬币的实验中,出现两个正面的频率稳定在________附近;
小明和表弟玩一个抛掷两枚硬币的游戏,小明制定的游戏规则如下:抛出两个正面–小明的表弟赢分;抛出其他结果–小明赢分;谁先到分,谁就得胜.你认为这个游戏规则公平吗?说说理由.
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