【题目】已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.
(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 ,衍生直线的解析式是 ;
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;
(3)如图,设(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)y=2x2﹣4x+1;
(3)存在,P为(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).
【解析】分析:(1)衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点,则可根据顶点设顶点式方程,由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得,MN解析式易得.
(2)已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与(1)相反,根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点,则可推得原抛物线顶点式,再代入经过点,即得解析式.(3)由N(0,﹣3),衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3,再向上平移1个单位即得直线y=﹣2,所以P点可设(x,﹣2).在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理,对于坐标系中的两点,分别过点作平行于x轴、y轴的直线,则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形,且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值.进而我们可以先算出三点所成三条线的平方,然后组合构成满足勾股定理的三种情况,易得P点坐标.
本题解析:
(1)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过(0,﹣3),
∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,
∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点(1,﹣4),
∴﹣4=a1﹣3,
解得 a=﹣1,
∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3.
设衍生直线为y=kx+b,
∵y=kx+b过(0,﹣3),(1,﹣4),
∴,
∴,
∴衍生直线为y=﹣x﹣3.
(2)∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点,
∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立,得,
解得 或,
∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为(0,1),
∴原抛物线的顶点为(1,﹣1).
设原抛物线为y=a(x﹣1)2﹣1,
∵y=a(x﹣1)2﹣1过(0,1),
∴1=a(0﹣1)2﹣1,
解得 a=2,
∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1.
(3)∵N(0,﹣3),
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后,解析式为y=﹣3,
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2.
设点P坐标为(x,﹣2),
∵O(0,0),M(1,﹣4),
∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17,
OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4,
MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.
①当OM2=OP2+MP2时,有17=x2+4+x2﹣2x+5,
解得x=或x=,即P(,﹣2)或P(,﹣2).
②当OP2=OM2+MP2时,有x2+4=17+x2﹣2x+5,
解得 x=9,即P(9,﹣2).
③当MP2=OP2+OM2时,有x2﹣2x+5=x2+4+17,
解得 x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).
综上所述,当P为(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)时,△POM为直角三角形.
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【题目】滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:
计费项目 | 里程费 | 时长费 | 远途费 |
单价 | 1.8元/公里 | 0.45元/分钟 | 0.4元/公里 |
注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为:行车里程10公里以内(含10公里)不收远途费,超过10公里的,超出部分每公里收0.4元. |
(1)若小东乘坐滴滴快车,行车里程为20公里,行车时间为30分钟,则需付车费________元.
(2)若小明乘坐滴滴快车,行车里程为a公里,行车时间为b分钟,则小明应付车费多少元(用含a、b的代数式表示,并化简.)
(3)小王与小张各自乘坐滴滴快车,行车里程分别为9.5公里与14.5公里,如果下车时两人所付车费相同,那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟?
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【题目】如图,不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上,且BP过圆锥底面圆的圆心,圆锥的高为2 m,底面半径为2 m,某光源位于点A处,照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4 m.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若∠ACP=2∠ABC,求光源A距水平面的高度.
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【题目】两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图①所示放置,直角顶点重合在点O处,AB=25.保持纸片AOB不动,将纸片COD绕点O逆时针旋转α(0°<α<90°)角度,如图②所示.
(1)在图②中,求证:AC=BD,且AC⊥BD;
(2)当BD与CD在同一直线上(如图③)时,若AC=7,求CD的长.
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【题目】如图,将一个饮料包装盒剪开,铺平,纸样如图所示,包装盒的高为;设包装盒底面的长为.
(1)用表示包装盒底面的宽;
(2)用表示包装盒的表面积,并化简;
(3)若包装盒底面的长为,求包装盒的表面积.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P是AB下方的半圆上不与点A,B重合的一个动点,点C为AP中点,延长CO交⊙O于点D,连接AD,过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E,连CE交AB于点F,连接DF.
(1)求证:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四边形ACED是何种特殊的四边形?
②在点P运动过程中,线段DF、AP的数量关系是 .
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【题目】已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,把△ABC沿对角线AC折叠,得到△AB'C,B'C与AD相交于点E,则AE的长________.
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