Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为下方的一动点，连结OC，过点O作OD⊥OC交BC于点D，过点C作AB的垂线，垂足为F，交DO的延长线于点E．

（1）求证：EC＝ED．

（2）当OE＝OD，AB＝4时，求OE的长．

（3）设＝x，tanB＝y．

①求y关于x的函数表达式；

②若△COD的面积是△BOD的面积的3倍，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE＝；（3）①y＝（0＜x＜1），②y＝．

【解析】

（1）先证明∠ECD=∠EDC，即可证明EC＝ED；

（2）先证明△ECD是等边三角形，即可说明∠E=60°，然后再说明△EOC是直角三角形，最后解直角三角形即可；

（3）①连接AC.先证明x＝＝，再证得;令OC=k，则OF=kx，然后再利用勾股定理求得CF、AF，即可求得函数解析式；

②作OH⊥BC于H，设BD=m，根据相似三角形的性质用m表示出OH、BH，然后代入函数解析式即可．

（1）证明：∵OD⊥OC，

∴∠COD＝90°，

∴∠OCD+∠ODC＝90°，

∵EC⊥AB，

∴∠CEB＝90°，

∴∠B+∠ECB＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠OCD，

∴∠ODC＝∠ECB，

∴EC＝EB．

（2）解：∵OE＝OD，OC⊥ED，

∴CE＝CE，

∵EC＝ED，

∴EC＝ED＝CD，

∴△ECD是等边三角形，

∵∠E＝60°，

在Rt△EOC中，

∵∠EOC＝90°，OC＝AB＝2，

∴OE＝＝．

（3）解：①连接AC．

∵EC＝ED，∠EOC＝90°

∴＝＝sin∠ECO，

∵∠OFC＝90°，

∴sin∠ECO＝，

∴x＝＝，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠AFC＝90°，

∴∠ACF+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，

∴∠ACF＝∠B，

∴tan∠B＝tan∠ACF＝＝y，

令OC＝k，则OF＝kx，CF＝＝＝k，

∴AF＝OA﹣OF＝k﹣kx＝k（1﹣x），

∴y＝＝＝（0＜x＜1）．

②作OH⊥BC于H．设BD＝m，

∵△COD的面积是△BOD的面积的3倍，

∴CD＝3BD＝3m，CB＝4m，

∵OH⊥BC，

∴CH＝BH＝2m，

∴HD＝m，

∵∠OCH+∠COH＝90°，∠COH+∠DOH＝90°，

∴∠OCH＝∠DOH，

∵∠OHC＝∠OHD＝90°，

∴△OHC∽△DHO，

∴＝，

∴OH2＝2m2，

∴OH＝m，

∴y＝tanB＝＝＝．