Question

17．如图，点D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，点E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，BD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）求四边形EFGH的周长．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线定理得出EH=FG=$\frac{1}{2}$AD，EF=GH=$\frac{1}{2}$BC，即可得出结论；
（2）由（1）得出四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=$\frac{1}{2}$AD，EF=GH=$\frac{1}{2}$BC，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=6，
∴四边形EFGH的周长=6+5=11．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的应用；熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．